Adaptive numerical methods for PDEs 1 Ronald A . DeVore

Résumé. Les méthodes adaptatives sont d’usage courant pour la résolution numérique des EDP. Il n’existe cependant pas de théorie bien établie analysant leur performance et justifiant leur utilisation. L’objet de cet exposé est de présenter les premiers éléments d’une telle théorie, dont les pierres angulaires sont l’approximation non-linéaire et les théorèmes de régularité pour les EDP. Une méthode adaptative numérique peut être assimilée à une forme d’approximation non-linéaire, la solution de l’équation n’étant pas approchée par une suite d’espaces fixée à l’avance, mais par les éléments d’un ensemble non-linéaire de fonctions décrit par N paramètres (éléments finis adaptatifs, ondelettes). La théorie de l’approximation non-linéaire relie l’efficacité de ce type d’approximation à la régularité de la solution mesurée dans certains espaces de Besov. L’analyse de cette régularité pour une équation donnée détermine ainsi le potentiel d’une méthode adaptative par comparaison avec les méthodes linéaires pour lesquelles une théorie similaire existe et fait intervenir d’autres classes de régularité. Une telle approche est illustrée dans le cadre elliptique et hyperbolique. Nous présentons finalement un algorithme adaptatif utilisant les ondelettes pour les équations elliptiques développé par Albert Cohen, Wolfgang Dahmen et l’auteur, algorithme dont les performances sont optimales au sens où elles reflètent les taux d’approximation prédits par la théorie.